Pi, la sección áurea y la cuadratura del círculo

A nuestro travieso pi podemos relacionarlo a la fuerza con la no menos traviesa sección áurea (obtenida simplemente dividiendo la diagonal del pentágono entre su lado, o resolviendo la ecuación: x2-x-1=0, de donde resulta x= ½ + ½ * raíz cuadrada (5)= 1.6180339= k), y a la vez ésta con la cuadratura del círculo. ¿Cómo?, veamos:

Si llamamos k a la sección áurea, podemos obtener un buen valor de pi mediante la siguiente relación:

(63/25)(15k+1)/(15k-4) = 3.14159265 = pi

Ahora, si obtenemos los símbolos correspondientes utilizando los números 63, 25, 15, 1 y 4 como códigos en ASCII, resultan los siguientes tres únicos símbolos:

Alt(63) = SIMBOLO DEL SIGNO DE INTERROGACION O INCOGNITA

Alt (25) = Alt (4) = Alt (1) = SIMBOLO DEL CUADRADO

Alt (15) = SIMBOLO DEL CIRCULO

Lo que, si me lo permiten, se podría interpretar como “La incógnita de la cuadratura del círculo”; lo que – por supuesto – no me lo van a permitir (¿o sí?), menos Bill Gates (Al que lo han marcado con el número de la bestia 666, obtenido al sumar todos los respectivos códigos ASCII de cada una de las letras de nombre: Bill Gates III).

Pi, e, k… y los sólidos platónicos

En realidad, existe una relación más íntima y menos artificial entre Pi, la sección áurea (k) y el valor de e (base del logaritmo neperiano).

Habíamos empezado hablando del pentágono y la relación entre su diagonal y su lado (igual a k). Hagamos una construcción sencilla con diez pentágonos unidos lado a lado (Podemos recortar pentágonos de cartón). Formarán una especie de onda sinusoidal, que obviamente por ser una función trigonométrica, estará relacionada con el valor de pi. Ahora, torciendo esta hilera de diez pentágonos, la figura se irá pareciendo a una espiral, que, por supuesto, tiene que ver con la función exponencial en donde interviene el número e (base del logaritmo neperiano). Al terminar de torcer estos pentágonos, se cerrarán, formando un poliedro regular de doce caras (Las otras dos caras, también pentagonales, se forman al cerrar esta construcción): el dodecaedro.

A partir del dodecaedro, sabemos que se derivan los otros sólidos platónicos: Sus diagonales corresponden a las aristas de un hexaedro (cubo), y las diagonales de éste forman el tetraedro. La unión de los puntos medios de las caras cuadradas del hexaedro, forman el octoedro; mientras que el icosaedro resulta de unir los puntos medios de las caras de nuestro dodecaedro. Y por San Pedro...acabó el trabalenguas...

Pero aquí no termina todo. Existen virus que tienen formas geométricas como de las que hemos hablado. La espiral misma del ADN, las proporciones entre las distancias de cada planeta al Sol (Kepler), las nebulosas, el crecimiento de poblaciones (Números de Fibonacci), la Economía Física (Lyndon H. LaRouche Jr. y su espiral cónica autosostenida), etc., etc.; tienen que ver con el valor de pi, la sección áurea y la base del logaritmo neperiano...estando pues íntimamente vinculadas estas constantes... Y parece que juntitas están en todo el Universo, sobretodo en los procesos vivos... Llegándose incluso a pensar de que el Universo entero está vivo...Bueno, bueno, dejémonos de ponernos filosóficos y metafísicos...

Otra travesura de Pi y e

Hubo un momento (Martín Gardner, 1975) en que se pensó que el valor de:

e pi * Raíz cuadrada (163)

era un número entero. Pero, se dieron cuenta de la travesura de pi y e. En realidad el valor de este número tenía doce nueves consecutivos después de la coma decimal:

e pi * Raíz cuadrada (163) = 262 537 412 640 768 743. 999999999999250072

aunque sirvió para obtener una excelente aproximación de pi, redondeando este valor (casi entero), así:

(1/ Raíz cuadrada(163)) * Ln ( 262 537 412 640 768 744 ) =

3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279

¡ 30 cifras decimales de pi ¡...Esta aproximación humilla a la fracción 355/113, y hasta a la expresión del hindú Ramanuján:

(355/113)( 1 – (0.0003/3533)) = 3.14159 26535 8979

Aunque Ramanuján obtuvo aproximaciones buenísimas de hasta 23 decimales para pi, utilizando para ello expresiones complicadas en las que intervenían raíces cuadradas, y el infaltable logaritmo neperiano (Por otro lado no hay que olvidar sus famosas series que han servido para obtener pi con cientos de millones de cifras…. a manera de “gárgaras” que hacen las computadoras).

Finalmente, si se llegasen a detectar señales extraterrestres cuya secuencia de pulsos sean proporcionales a los números primos, no necesariamente estaríamos ante algún tipo de comunicación de seres inteligentes intergalácticos, puesto que ya sabemos la relación matemática que existe entre estos “inteligentes” números y el tan natural pi, que – dicho sea de paso – debemos ya ascenderlo a la categoría de constante natural universal.

La curiosa raíz cuadrada de 308462, Pi y nuestros primeros Padres

¿Qué dirían ustedes de un número irracional con grupos de cifras que se repiten muy ordenadamente?...

Cuando me mostraron la raíz cuadrada del número 308462:

555.55557777777733333335111111022222227199999

casi lloro de la emoción por tan curiosa coincidencia. Me preguntaba si existían otros números cuya raíz cuadrada lo dejen a uno atónito, y si su cantidad era infinita (obviamente que no me refiero a los números: 4x308642, 9x308642, 16x308642, etc., cuyas raíces son: 1111.11115..., 1666.6667..., 2222.222311..., etc.).

Y me puse manos a la obra. Comencé probando número por número y analizando para cada uno su raíz... y perdí las esperazas de encontrar otro numerito entero cuya raíz esté compuesta inicialmente por números repetitivos. Al cabo de varios días me di cuenta rápidamente de que por este camino no encontraría otra “curiosa” coincidencia.

Entonces decidí descomponer el número 308462, y al sacarle nada más que la mitad, me llamó la atención que el resultado fuera 154321 (que, además, es un número primo). ¡Una pista! ¿Serendipia?....Me invadió la certeza de que el producto de un número “x” por un número compuesto por cifras consecutivas, generaba una raíz con cifras repetitivas (x=2, para 154321)

Así que, para probar esta hipótesis (algo descabellada, lo admito), nuevamente empecé a tabular en Hoja de Cálculo, por un lado las columnas: 121, 1321, 14321, 154321, 1654321, 17654321, 187654321, y así sucesivamente; y por otro lado las filas compuestas por los enteros del 1 al ya no me acuerdo. Rigurosamente miré cada uno de los elementos de la matriz “raíz cuadrada de columna x fila”, a fin de descubrir algún irracional que tuviera cifras repetitivas..... y ¡Aleluya!, descubrí lo siguiente:

Raíz cuadrada de 14321*29= 644.44472222216235634764333396314

(y obviamente, las raíces cuadradas de los números: 14321*29*4, 14321*29*9, ...., tendrán esta peculiaridad)

Raíz cuadrada de 1654321x134=

14888.8889444444443407960202872454

Raíz cuadrada de 17654321x1430=

158888.888944444444434731934735331

Raíz cuadrada de 187654321x38=

84444.4444472222222221765350877208

Raíz cuadrada de 1987654321x1610=

1788888.88889444444444443581780538

Bueno... pero podría existir una fórmula que genere (para n=1,2,3....) números enteros cuya raíz cuadrada estuviese compuesta por cifras repetitivas????

Para empezar, encontremos una fórmula que genere, para cada valor de n= 1,2,3,..., los valores de M1= 11, M2= 121, M3= 1321, ....

Luego, buscamos la fórmula que genere al bendito número Xn que multiplicado por Mn dé el número An cuya raíz cuadrada sea un numerito irracional con cifras repetitivas.

Veamos:

Para: n = 1, M1 = 101 +1(10)0 = 11

Para: n = 2, M2 = 102 + (1+ 2*101) = 121

Para: n = 3, M3 = 103 + (1+ 2*101 + 3*102) = 1 321

Podemos darnos cuenta que:

M n = 10n + SUMATORIA ( j * 10 j-1) ...... (1)

De: j =1 hasta n

Probemos para:

n = 10, M10 = 20 987 654 321

n = 11, M11 = 220 987 654 321

n = 12, M12 = 2 320 987 654 321

.....

n = 20, M20 = 320 987 654 320 987 654 321

Determinación de una fórmula general para Mn

Sea: y= 1+x+x2+x3+x4+..... +xn = (xn+1 –1)/(x-1)

Derivando y con respecto a x:

dy/dx = 1+2x+3x2+4x3+ ..... +n xn-1 = (xn(nx-n-1) + 1) / (x-1)2

Si hacemos x=10:

1 + 2*101 + 3*102 + 4*103 + ..... + n*10n-1 = (10n (9n-1) + 1 )/81 =

= SUMATORIA ( j * 10 j-1) ...... (2)

De: j =1 hasta n

Por lo que, reemplazando (2) en (1):

M n = 10n + (10n (9n-1) + 1 )/81 = (1/81) (10n (80+ 9n) + 1)

................. (3)

Otra cuestión curiosa:

M1, M3, M4, M5, M13, son números primos

Determinación de Xn

Revisemos detenidamente estos resultados:

n

Mn

Xn

1

11

890

=

10 * ( 80 + 9*1 )

2

121

98

=

( 80 + 9*2 )

3

1,321

1070

=

10 * ( 80 + 9*3 )

4

14,321

116

=

( 80 + 9*4 )

5

154,321

1250

=

10 * ( 80 + 9*5 )

6

1,654,321

134

=

( 80 + 9*6 )

7

17,654,321

1430

=

10 * ( 80 + 9*7 )

8

187,654,321

152

=

( 80 + 9*8 )

9

1,987,654,321

1610

=

10 * ( 80 + 9*9 )

10

20,987,654,321

170

=

( 80 + 9*10)

Generalizando, para n impar: X n = 10 * (80 + 9n), y

Para n par: X n = 80 + 9n

Mejor aún, para cualquier número entero n:

X n = POTENCIA (10; (1 –(-1)n)/2 ) * (80 + 9n) ....... (4)

Ahora sí, para cada n (entero); tenemos los números:

A n = M n * X n

cuyas raíces cuadradas tienen cifras repetitivas.

Por ejemplo, para n = 20:

A 20 = 320 987 654 320 987 654 321 * 260 =

Raíz cuadrada de A 20 : 288 888 888 888 . 888888888894444444444

A partir de aquí, comenzó mi martirio y todo el tiempo que me sobraba a la salida de la oficina lo dediqué a la búsqueda de la relación entre Pi y estas curiosas raíces….. Combiné de mil modos éstas para que apareciera Pi… y ¡NADA!...

- YA VES? - me dijo mi esposa- … eso te pasa por jugar con ese número travieso…. ¿qué has encontrado?... NADA… YA VES?????

Entonces, serendípicamente descubrí que después de la NADA aparece YAVE (mágicas palabras de Miriam Vera):

NADA YAVE, que leído al revés es: EVA Y ADAN (¡eureka!)

Entrevista a Pi

- Señor Pi, usted oculta varias verdades ¿Estaría dispuesto a que le apliquen el suero de la verdad para que no mienta en esta entrevista?

- Hmm... podría darme pi-“mienta”

- Y con la pi-mienta ya no miente?

- Bueno... me convertiría en Pi-nocho...

- A qué personaje de la historia admira? ¿A Pi-zarro?

- No, no... A Pi-tágoras ...

- Qué estación le gustaba más cuando era niño?

- ¡La pi-mavera!

- Cuál es la parte de su cuerpo que más le gusta?

- En realidad todo en mí me gusta... pero me gustan más mis pi-es....y mi cutis

- Oiga, pero su cutis no tiene que ver nada con su nombre…

- Bueno, quise decir mi pi-el…

- Qué plato le gusta más? Seguro que la pi-zza...

- No...En general me gustan mucho los platos pi-cantes cuando hago pi-cnic... le tengo alergia a la pi-zza

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